Medidas de Tendencia Central

Objetivo: Desarrollar habilidades para el cálculo y utilización de las diferentes medidas de tendencia central y de dispersión de datos.

Las medidas de posición, generalmente denominadas promedios, son consideradas como medidas destinadas a reducir el conjunto de datos de una característica observada o investigada a un solo número representativo. Se puede decir también que el resultado de las medidas solo pretende explicar mediante un valor típico, un conjunto de datos.

Algunos establecen diferencias entre estos promedios y los clasifican en medidas de posición y de tendencia central. A los primeros los definen como un valor típico, dentro de la variable, que representa el conjunto de observaciones; a los segundos, como un valor central. De todas formas es un valor que calculamos para describir una característica que suele agrupar muchas clases de datos y que se diferencian en la forma que se definen típicamente, y en la cantidad y tipo de información que pierden al resumir la información.

Por otra parte, el promedio es un concepto mas familiar que puede considerarse como indeterminado. Por lo general un valor promedio intenta representar o resumir las características mas relevantes de un conjunto de valores, siendo los más conocidos: media aritmética, mediana y moda.

Es necesario recordar que si estos promedios son calculados con  valores de una población, seles denomina parámetros, si se le aplican a los valores que toman las características de las unidades de una muestra serán llamados estimadores.

La Media Aritmética ():

La medida de tendencia central más ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como la media y denotada por  (léase como “X barra”).

·         La media aritmética para datos no agrupados

Si se dispone de un conjunto de n números, tales como X₁, X₂, X₃,…,X_n, la media aritmética de este conjunto de datos se define como “la suma de los valores de los n_i números , divididos entre n”, lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como:

                                                        X1, X2, X3,…,Xn,        ΣX_i

                                               =  -------------------------- = ---------

                                                   n                       n

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

     18+23+27+34+25        127

= ------------------------ = --------- = 25.4 años

                                                    5                        5

·         La media aritmética para datos agrupados

Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, no es posible conocer los valores individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan.  Para poder calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones  dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media aritmética para datos agrupados puede definirse de la siguiente manera:

Si en una tabla de distribución de frecuencia, con r clases, los puntos medio son: X₁, X₂, X₃,…,X_n; y las respectivas frecuencias son f₁, f₂, f₃, … , f_n, la media aritmética se calcula de la siguiente manera:

                                    X₁f₁ + X₂f₂ + X₃f₃ + … +X_nf_n      Σ(X_if_i)           Σ(X_if_i)

 =----------------------------------------- = ------------ = ---------------                                                                                                                                                                     f₁ + f₂ + f₃ + … + f_n                   Σf_i                           N

donde: N = número total de observaciones, por tanto Σf_i   puede simplificarse y escribirse como N ( N= Σf_i    )

            Ejemplo:

            Clases                               1            2          3            4           5           6

            Puntos Medios (X_i)        14,628    29,043  43.458  57,873  72.288  86.703

            Frecuencias (f_i)                10           4          5           3            3           5            N = Σf_i = 30

Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media aritmética) de estos datos se tiene lo siguiente:

                    14.628(10) + 29,043(4) + 43.458(5) + 57.873(3) + 72.288(3) + 86.703(5)

             = ------------------------------------------------------------------------------------------

                                                            10 +4 + 5 + 3 + 3 + 5

                                                                                                                     

                       146,28 + 116.172 + 217.29 + 173.619 + 216.864 + 433.515

             = -------------------------------------------------------------------------------

                                                                    30

                        1303.74

             = ------------------- = 43.458

                           30

Otro ejemplo:

intervalos	Fi	Xi	XiFi	Fi/n	Xi(fi/n)
10-14	3	12	36	0,12	0,12*12	1,44
14,1-18	5	16	80	0,2	0,2*16	3,2
18,1-22	2	20	40	0,08	0,08*20	1,6
22,1-26	1	24	24	0,04	0,04*24	0,96
26,1-30	4	28	112	0,16	0,16*28	4,48
30,1-34	3	32	96	0,12	0,12*32	3,84
34,1-38	7	36	252	0,28	0,28*36	10,08
	25		640			25,6

=640/25=25,6  o    = Σ(xi(Fi/n))=25,6

DESVIACIONES DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

Se utiliza para conocer y presentar las distancias que se obtienen entre los valores de la variable y la media aritmética. La sumatoria de estas diferencias debe ser igual a cero para datos no agrupados y la sumatoria de estas diferencias multiplicado por su frecuencia absoluta debe ser igual a cero en datos agrupados.

Se obtienen calculando las diferencias entre cada uno de los valores que toma la variable y la media.

D= Σ(Xi - ).Fi = 0

                             

Propiedades de la media aritmética

§  Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos

§  Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.

§  Una serie de datos solo tiene una media.

§  Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones

§  Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.

§  Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.

Desventajas de la media aritmética

§  Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.

§  No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

La Mediana Me

Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana., y denotada por Me

La mediana es una medida de posición y se define  como  la posición central en el arreglo ordenado de la siguiente manera:

Dado un conjunto de números agrupados en orden creciente de magnitud, la mediana es el número colocado en el centro del arreglo, de tal forma que una mitad de las observaciones está por encima y la otra por debajo de dicho valor.  Si el número de observaciones es par, la mediana es la media de los dos valores que se hallan en el medio del arreglo, de donde se concluye en la siguiente definición:

Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de    

acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos

1.Calculo de la mediana si los datos no están en tabla de frecuencias:

Para el cálculo de la mediana, cuando los datos no están en una tabla de frecuencias, debe tenerse en cuenta el numero de observaciones es par o impar. En cada caso se siguen los siguientes pasos:

1. Se ordenan los datos de menor a mayor de de mayor a menor.
2. Se determina el valor central, ya sea mediante la observación directa de los datos o a través de la aplicación de la formula: (n+1)/2. El resultado nos señala el numero de la observación en que se localiza la mediana; por ejemplo:

Número impar de observaciones:

Si tenemos 5,6,7,0,5,6,2,1,8 primero los ordenamos de mayor a menor así:

8,7,6,6,5,5,2,1,0 observamos que uno de los nueve datos ocupa el centro; por lo tanto este valor corresponde a la mediana Me=5  también podemos aplicar la formula así:

(9+1)/2)=5  lo cual significa que la mediana está localizada en el quinto dato de la variable ordenada.

Numero par de observaciones:

Si disponemos de un conjunto par de datos, se toma convencionalmente la mediana a la medida de las dos observaciones centrales asi:

Si tenemos 4,6,7,3,7,2,1,9 primero los ordenamos de mayor a menor así:

9,7,7,6,4,3,2,1 la mediana será el promedio entre la cuarta y quinta observación de la siguente manera:

(6 +4)/2 )=5 este será el valor de la mediana.

2. Calculo de la mediana si los datos no están en tabla de frecuencias:

• La Mediana para datos no agrupados.

Procedimiento:

1. Dividimos en dos el total de observaciones n/2

2. Localizamos en la columna de frecuencias absolutas acumuladas Ni en valor de  n/2

3. Si el valor de n/2 no se observa, el inmediatamente inferior lo simbolizamos NJ-1 y el siguiente  con NJ y la mediana será Me= X_J

4. Si el valor se observa en la columna de los Ni , los datos los simbolizamos N_J-1 y al inmediatamente superior le colocamos N_J . En este caso la mediana será igual a   (X_J-1+ X_J )/2.

Ejemplo:

Cuando no se ve n/2 en la columna Ni

                                                                        n/2 =25/2=12,5                          no se ve

Xi	Fi	Ni
3	3	3
4	2	5
5   XJ-1	4	9     NJ-1
7   XJ	5	14  NJ
8	2	16
9	3	19
10	6	25
	25

                          Me= X_J =7

Cuando si se observa n/2

Xi	Fi	Ni
3	3	3
4	2	5
5	5	10
7  XJ-1	2	12   NJ-1
8  XJ	4	16   NJ
9	3	19
10	5	24
	24

                      n/2=24/2=12

           si se ve

 

Me= ( X_J-1   +  X_J )/2

                       (7+8)  /2              =7,5

• La mediana para datos agrupados

1. Localizamos el valor de n/2 en la columna Ni

2. si el valor se observa, le colocamos  N_J-1  y al inmediatamente superior le colocamos N_J  pero en la fila de los Fi y la mediana es igual a X_J-1

LI -  LS	Fi	Ni
0-14	3	3
14,1-20	4	7
20,1-26       XJ-1	6	13 NJ-1
26,1-32       XJ	7 NJ	20
32,1-38	2	22
38,1-44	4	26
	26

_{n/2=26/2=13        si se ve}

_Me= X_J-1=26

3. Si el valor no se observa le colocamos inmediatamente N_J-1  y al inmediatamente superior N_J en la columna de los Fi y la mediana es igual a:

Me = X_J-1   + C* ((n/2-N_J-1 ) /N_J)   donde C=R/m

Ejemplo:

LI -  LS	Fi	Ni
0-14	3	3
14,1-20      XJ-1	5	8  NJ-1
20,1-26      XJ	6 NJ	14
26,1-32	7	21
32,1-38	2	23
38,1-44	4	27
	27

                                                                                           n/2 =27/2=  13,5  no se observa

 

                              

                                R= 38-0   = 38

                               C=R/m = 6

                                Me = 20+ 6((13,5-8)/6) =25,5

           

·            Propiedades de la mediana

§  Hay solo una mediana en una serie de datos.

§  No es afectada por los valores extremos ( altos o bajos )

§  Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo abierto.

§  Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa, de intervalos, y ordinal.

La Moda (Mo.)

veces es importante conocer cuál es el valor que más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le conoce como moda.  La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.

En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que ocurre con más frecuencia

Ejemplo:

En el siguiente conjunto de números 1, 5, 5, 9, 12, 12, 12, 14.  La moda es igual a 12, por cuanto que es el número que más se repite (tres veces)

En una tabla de frecuencias es el Fi mayor, el que más se repite.

§  Propiedades de la moda

§    La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).

§    La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.

§    Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos.

• Desventajas de la moda

§ En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez.

§ En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de datos?

Actividad:

Se realizo una investigación para establecer el ingreso salarial de la última semana de 50 trabajadores de la fábrica de pinturas el color, con el objetivo de dar una prima extralegal para la motivación del mes, según el promedio calculado por la media aritmética, con los siguientes resultados en miles de pesos:

278	265	250	290	238	260	248	270	232	230
262	262	240	290	272	236	263	258	248	254
280	263	246	236	288	254	270	263	265	240
270	280	260	250	246	260	284	270	272	268
275	300	284	240	254	258	296	278	280	250

1. Elaborar tabla de distribución de frecuencias
2. Interpretar tabla
3. Hallar la media aritmética y comprobar que sus desviaciones son iguales a cero.
4. Explique la prima extralegal de motivación para los trabajadores
5. Halle la mediana e interprete adecuadamente
6. Hallar la moda